并查集｜UnionFind

并查集是一种树形的数据结构，顾名思义，它用于处理一些不交集的 合并 及 查询 问题。

它支持两种操作：

• 查找（Find）：确定某个元素处于哪个子集；
• 合并（Union）：将两个子集合并成一个集合。

!!! warning 并查集不支持集合的分离，但是并查集在经过修改后可以支持集合中单个元素的删除操作（详见 UVA11987 Almost Union-Find）。使用动态开点线段树还可以实现可持久化并查集。

初始化

void makeSet(int size) {
  for (int i = 0; i < size; i++) fa[i] = i;  // i就在它本身的集合里
}

查找

通俗地讲一个故事：几个家族进行宴会，但是家族普遍长寿，所以人数众多。由于长时间的分离以及年龄的增长，这些人逐渐忘掉了自己的亲人，只记得自己的爸爸是谁了，而最长者（称为「祖先」）的父亲已经去世，他只知道自己是祖先。为了确定自己是哪个家族，他们想出了一个办法，只要问自己的爸爸是不是祖先，一层一层的向上问，直到问到祖先。如果要判断两人是否在同一家族，只要看两人的祖先是不是同一人就可以了。

在这样的思想下，并查集的查找算法诞生了。

此处给出一种 C++ 的参考实现：

int fa[MAXN];  // 记录某个人的爸爸是谁，特别规定，祖先的爸爸是他自己
int find(int x) {
  // 寻找x的祖先
  if (fa[x] == x)  // 如果x是祖先则返回
    return x;
  else
    return find(fa[x]);  // 如果不是则x的爸爸问x的爷爷
}

显然这样最终会返回 x 的祖先。

路径压缩

这样的确可以达成目的，但是显然效率实在太低。为什么呢？因为我们使用了太多没用的信息，我的祖先是谁与我父亲是谁没什么关系，这样一层一层找太浪费时间，不如我直接当祖先的儿子，问一次就可以出结果了。甚至祖先是谁都无所谓，只要这个人可以代表我们家族就能得到想要的效果。把在路径上的每个节点都直接连接到根上，这就是路径压缩。

此处给出一种 C++ 的参考实现：

int find(int x) {
  if (x != fa[x])  // x不是自身的父亲，即x不是该集合的代表
    fa[x] = find(fa[x]);  // 查找x的祖先直到找到代表,于是顺手路径压缩
  return fa[x];
}

合并

宴会上，一个家族的祖先突然对另一个家族说：我们两个家族交情这么好，不如合成一家好了。另一个家族也欣然接受了。